Nature の最新表紙: 2 つの主要な数学の問題が AI によって解決されました!ディープマインドYYDS

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現在、AI は数学の研究に参加するだけでなく、人間よりも一歩先を行く数学的な推測を提案する手助けも始めています。

ちょうど今日、DeepMind がトップクラスの数学者と共同で開発したこの AI が、Nature の最新号の表紙に登場しました。

どれくらい一流ですか？これらの数学者は全員オックスフォード大学とシドニー大学出身で、その中にはロンドン王立協会史上最年少の会員もいます。

2年間でシュヴァリエ賞やクレイ・リサーチ賞など4つの主要な数学賞を受賞したジョーディ・ウィリアムソンです。 [[438212]]最新の表紙: 2つの主要な数学の問題がAIによって解決されました!ディープマインドYYDS">

この研究について、DeepMindは「人工知能が純粋数学研究の最前線に立つことができることを初めて証明した」と公式に主張した。

なぜこの研究はネイチャー誌によって「AIと人間のコラボレーション」、あるいは「人間の直感を導くAI」と評価されたのでしょうか？「人間がAIツールを使用する」こととどう違うのでしょうか？

まず第一に、仮説を反証するのは比較的簡単だということを知っておく必要があります。反例を見つけるだけでよいのです。

しかし、AIがゼロから新たな仮説を提案する作業に携わるのは今回が初めてだ。

予想自体は数学の発展の大きな原動力です。現代の最も難しい数学の 3 つの問題、すなわちフェルマー予想、四色予想、ゴールドバッハ予想はすべて予想です。

これまでの推測は、物理学者アインシュタインと数学者ラマヌジャンという歴史上の二人の天才など、少数の科学者の洞察と個人的な経験に主に基づいていました。

しかし、科学が発展するにつれて、研究すべき問題の複雑さは徐々に人間の能力の限界を超えてきています。

いくつかの問題には膨大なデータが含まれるため、そのすべてを研究するには 1 人の人間が一生をかけて研究する必要があります。

研究対象の中には非常に複雑なものもあり、数千の次元を持つ場合もあります。これは平均的な人間の脳が直感的に理解できる能力を超えています。

さらに、この研究は数学の分野における40年来の問題の解決にも貢献し、大きな進歩をもたらしました。

この研究に参加した数学者の一人、オックスフォード大学のマーク・ラッケンビー氏は次のように述べた。

機械学習が直感的なガイダンスにどれほど役立つかに驚きました。また、私の先入観のいくつかが AI によって覆されるとは思っていませんでした。

この研究には関わっていない別の数学者、イスラエルのテルアビブ大学のアダム・ゾルト・ワグナー氏も羨ましそうに言う。

このツールがなければ、私たち数学者は公式や定理を証明するのに何週間も何ヶ月も費やしたあげく、結局それが間違っていることが判明するかもしれません。 ”

それで、今回 AI は数学者のどんな問題の解決を支援したのでしょうか?以下で確認してみましょう。

AIが代数と幾何学のつながりを発見

最初の質問は、位相幾何学の一分野である結び目理論に関するものです。

数学的に言えば、結び目は 3 次元の実ユークリッド空間に円を埋め込むことです。

えっと…写真を見てみましょう。

ロープがあり、それに結び目を作るとします。

両端を接着すると結び目になります。

次のように、さらに結び目を作ることもできます。

それとも、こんな感じでしょうか？

数学者は、結び目が靴ひもでできているかパンでできているかは気にしません。彼らが気にするのは、次の 1 つのことです。

複雑な結び目を単純な結び目に縮小することはできますか? できる場合、2 つの結び目は位相的に同等であることを意味します。

これに基づいて結び目を分類することによってのみ、結び目の特性を理解し、さらに実際の応用問題との関連を確立することができます。

現実世界では、結び目理論は化学分子がキラリティーを持つかどうかを判断するために使用でき、トポロジカル量子コンピューティングモデルに基づいて量子コンピュータを構築できるという期待があります。

数学者は結び目を幾何学的特徴と代数的特徴という2つの観点から研究し、それぞれ結び目のいくつかの性質を定義します。

しかし、問題は結び目の種類が多すぎるということにあります。人類は 19 世紀以来、数え切れないほどの種類を収集してきました。コンピューターを使用して結び目を自動生成すると、毎日数十億の結び目が生成されます。

膨大なデータから隠れたパターンを見つけるのは一般人にとって難しいことですが、今回はAIがそれを実現しました。

AI の貢献は、結び目の幾何学的特性と代数的特性との間の直接的なつながりを発見したことです。

数学者たちはこの発見をし、仮説を提唱し、厳密な証明を与えて、結び目問題の研究に新たな方向性を切り開きました。

40年にわたる謎がついに解けた

結び目の問題を解決することに加えて、もう一つは表現理論に関連しています。

表現論は数学における抽象代数の分野であり、表現のすべての要素は還元不可能です。

これらの既約表現の構造は、主に Kazhdan-Lusztig (KL) 多項式の影響を受けます。

組合せ不変性予想は、KL 多項式に関連する重要な予想です。

これは、対称群 SN の 2 つの要素の KL 多項式が、ラベルのない Bruhat 区間、つまり有向グラフから計算できることを示しています。

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△Bruhat区間とそのKL多項式の例

この推測は40年ほど前から存在していますが、部分的な進展しかありません。

2人の科学者はこの推測を最初の仮説として使用し、AIの教師あり学習モデルを通じてBruhat間隔からKL多項式を予測しました。

特定された帰属手法に関連する代表的なサブグラフを計算し、元のグラフに対するこれらのグラフの周辺分布を分析することで、構造のさらなる証拠が見つかりました。

下の図に示すように、KL 多項式は、ハイパーキューブと SN-1 部分から式を使用して直接計算できます。

そのため、科学者たちは次のような仮説を提唱しています。

ラベルなしの Bruhat 間隔の KL 多項式は、上記の方法と任意のハイパーキューブ分解を使用して計算できます。

厳密な証明はまだ行われていないものの、300 万件のテスト例でこの方法を検証することができました。

検証が成功すれば、対称群の組合せ不変性予想が解決されることになります。

AIが数学者の直感を導く

では全体として、数学者はどのように AI を活用して問題を解決するのでしょうか?

あるいは、AI は具体的にどのように数学者の直感を導くのでしょうか?

要するに、この論文では、2 つの量の関係についての推測 (直感) がさらに調査する価値があるかどうかを迅速に検証し、価値がある場合はそれをさらに調査する方法をガイドするフレームワークを提案しています。

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△フレームワークフローチャート

具体的には、教師あり学習はまず、数学的対象における特定の構造/パターンの存在を確認するために使用されます。

次に、これらのパターンをより深く理解するために、帰属技術が使用されます。

このプロセスにおいて、AI は人間が対応できない規模のデータを出力し、人間が検出できないパターンをデータから抽出することができます。

これがまさに、AI と人間のコラボレーションが従来の数学的研究方法と異なる点です。

実際、数学は主に関係性とパターンを研究する学問です。

例えば、小学校で習ったピタゴラスの定理。平面上の三角形を8次元空間の900面体の多面体に拡大した場合、a2+b2=c2という同等の形を簡単に見つけることができるでしょうか？

答えは、数学者はそれを見つけることはできるが、彼らができる仕事量には限界がある、ということです。

なぜなら、観察された式が偶然ではなく普遍的であることを確信する前に、多くの例を評価する必要があるからです。

もちろん、この論文は「普遍的な純粋数学アシスタント」を作成することを意図しているのではなく、AI を利用して数学者が数学における新しいパターンをより効率的に発見し、識別できるようにすることが目的です。

論文の著者の一人であるオックスフォード大学のジュハス教授は次のように述べた。

十分に大きなデータセットを生成できる数学のあらゆる分野でこのアプローチを使用でき、生物学や経済学などの分野も恩恵を受けるでしょう。

研究者らは、ネイチャー誌の論文に加え、数学的観点から2つの研究を説明する論文をArxivに発表しており、将来的には適切な数学雑誌に投稿する予定である。

さらに、2 つの問題に対して Colab コードが提供されており、科学研究で AI と連携するとどのような感じになるかを体験できます。

論文リンク:
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://arxiv.org/abs/2111.15323
https://arxiv.org/abs/2111.15161

Colabアドレス:
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/knot_theory.ipynb
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/representation_theory.ipynb