タオ氏の新しい論文：有名な素数予想を部分的に証明、新しい方法は彼の古いモデルを使用する

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テレンス・タオがまた新しい論文を発表しました！

彼が独自に新しい論文を発表するのも、この1年で初めてのことだ。 （arXivによると、最後の単独論文は昨年2月に発表された）

この新しい論文は、タオ氏が研究している数論の分野に関連しています。

これは、有名な数学者エルデシュ・パルによって提案された交代素数列予想が、ハーディ・リトルウッド素数 k 組予想が有効であるという条件下で有効であることを証明します。

(もちろん、ハーディ・リトルウッド素数k組予想も未解決の予想なので、この研究は部分的な証明に過ぎず、完全な解決ではありません)

この研究では、彼と彼の協力者が数年前に提案した素数ランダムモデルも使用されました。

見てみましょう。

どのような推測が証明されましたか?

新しい論文の核心は、交代素数級数の収束についてエルデシュが提唱した予想を証明することです。

この予想は、次の長さの交代数列に関連しています。ここで、pn は n 番目の素数です。

交代級数は、項の符号が正と負の間で交互に変化し、値の絶対値が単調に減少する無限級数です。高度な数学を学ぶとき、その一般的な形式は誰もが見たことがあるはずです。

しかし、交代級数は必ずしも収束するとは限らないため、具体的な級数に基づいて具体的な判断が必要になります。今回、タオは特別なタイプの交代級数、つまりanが素数pnの逆数であり、この級数が収束することを証明しました。

ただし、前提条件として、ハーディ・リトルウッド素数 k 組予想が成立している必要があります。

イギリスの科学者ハーディとリトルウッドによって提唱されたハーディ・リトルウッド素数 k 組予想は、一連の差の値が与えられた場合に k 個の素数の出現頻度を予測します。

この予想は、2つの絶対定数ε>0とC>0が存在し、すべてのx≥10、すべてのk≤(log log x)^5、およびすべてのk組が異なる整数h1、…、hkで構成されることを述べている。 、この式は成り立ちます:

しかし、この推測はまだ解決されていません。

今回、テレンス・タオは、交代素数列の収束予想が正しいという仮定に基づいて、その妥当性を直接証明しました。全体のプロセスは、おおまかに 4 つのステップに分けられます。

まず、素数カウント間隔の長さは、ファンデルコルプの差分定理に基づいて短縮されます。

この予想を証明するには、実際には区間 [1,x] 内の素数の数の偶奇分布を推定する必要があるため、差分定理を使用する目的は、より短い区間内の素数の数の偶奇のみを考慮する問題に変換することです。

この問題を変換した後、ハーディ・リトルウッド素数 k 組予想を使用して、実際に問題が正しいことを証明できます。

したがって、次の論文では、ハーディ・リトルウッド素数 k 組予想が成り立つという仮定に基づいて、短い間隔で k 個の素数が存在する確率を推定します。

その後、タオ氏は数年前に2人の数学者ウィリアム・バンクス氏とケビン・フォード氏と共同で開発したランダム素数モデルを使用して、素数の分布をモデル化しました。

最後に、このモデルに基づく分布予想が証明されます。

このブログが公開されてすぐに、一部のネットユーザーがこのブログを気に入り、自分たちも別の方法でこの推測を解こうとしていると述べた。

いいね！

私はこの推測を 3 週間前に Thomas Bloom のウェブページで見つけたのですが、そこには論文の最初の文しか含まれていませんでした。

私は計算の観点からこれにアプローチしようとしました。私は、各結果の偶数インデックスと奇数インデックスの差を調べ、次に曲線フィッティングを行って差がゼロになる可能性がある場所を特定しようとしていると考えています。

私のデータがこの問題の解決に役立つかどうかはわかりませんが、少なくともプログラミング スキルは向上します。

あなたの論文を理解するにはまだ少し時間が必要です。ありがとうございます!

もう一つ

2004 年に Terence Tao とBen Joseph Greenによって提案された有名なGreen-Tao 定理も、 Erdős Pálによる別のより有名な等差数列予想に基づいていることは言及する価値があります。

そのうち、エルデシュの等差数列予想は以下のとおりです。

グリーン・タウ定理は、彼らが研究した素数の範囲に予想の範囲をさらに狭めており、これはエルデシュ等差数列予想の「特別なケース」に相当する。

エルデシュは等差数列予想を解いた人に5,000ドルの報奨金を出すと申し出た。

近年では、テレンス・タオのほか、トーマス・ブルームやオロフ・シサスクなど多くの数学者もこの研究に取り組んでいます。 2020年に、彼らは整数の無限列には少なくとも長さが3の等差数列が含まれていなければならないことを証明し、問題をさらに一歩進めました。

興味のある方はぜひ試してみてください（手動ドッグヘッド）

新しい論文のアドレス: https://arxiv.org/abs/2308.07205