機械学習は「原子幾何学」の秘密を明らかにし、数学の発展を促進した

代数多様体とその方程式。

代数幾何学は、一方では方程式の研究である代数学、他方では図形の研究である幾何学という、数学の 2 つの分野が融合したものです。代数幾何学では、抽象代数の問題解決方法を幾何学の複雑かつ具体的な形状、面、空間、曲線に適用します。

代数幾何学の基本的な問題は、多項式方程式の解の集合を分類すること、または単に空間を分類することです。その研究の基本的な対象は代数多様体と呼ばれ、多項式方程式系の解集合の幾何学的表現です。

ファノ多様体は代数多様体の重要なタイプです。ある意味では、それらは数学的な形状の「原子片」です。ファノクラスターは弦理論においても重要な役割を果たします。

ファノ クラスターは、幾何学的形状の基本的な構成要素であり、数学的形状の「原子ブロック」です。ファノクラスターの分類における最近の進歩には、量子周期と呼ばれる不変性の分析が含まれます。これは、ファノ クラスターの数値指紋を提供する整数のシーケンスです。ファノクラスターはその量子周期によって一意に決定されると推測されます。もしこれが真実であれば、ファノクラスターの幾何学的特性をその量子周期から直接回復することが可能であるはずです。

ノッティンガム大学とインペリアル・カレッジ・ロンドンの数学者らは、初めて機械学習を利用して、高次元の基本的な幾何学的形状を構成する「原子形状」を特定する研究を拡大し、加速させた。

具体的には、研究者らは「X の量子周期は X の次元を知っているか?」という質問に機械学習を適用しました。これについては理論的な理解がないことに注意してください。研究によると、単純なフィードフォワードニューラルネットワークは、X の次元を 98% の精度で決定できることがわかっています。これを基に、研究者らはファノクラスターのクラスの量子周期内で厳密な漸近挙動を確立した。これらの漸近特性は、X の量子周期の次元を決定します。結果は、機械学習が理論的な理解がなくても複雑な数学的データから構造を選び出すことができることを示しています。それらはまた、ファノクラスターの量子周期が多様性を決定するという推測に対する肯定的な証拠も提供します。

「ファノ多様体の次元を機械学習する」と題されたこの研究は、2023年9月8日にネイチャー・コミュニケーションズ誌に掲載された。

論文リンク: https://www.nature.com/articles/s41467-023-41157-1

研究グループは数年前から、形状元素の周期表を作成する作業を開始した。原子の断片はファノクラスターと呼ばれます。研究チームは、量子周期と呼ばれる一連の数字をそれぞれの形状に関連付け、形状を表す「バーコード」または「指紋」を作成した。彼らの最近の画期的な成果は、新しい機械学習アプローチを使用してこれらのバーコードを素早くふるいにかけ、各形状の寸法などの形状とその特性を識別します。

「数学者にとって、重要なステップは与えられた問題のパターンを特定することです。これは非常に難しいことであり、数学理論によっては発見に何年もかかるものもあります」とアレクサンダー・カスプリク氏は言う。

トム・コーツ教授は次のように語った。「機械学習は代数や幾何学などの複雑な分野でパターンを発見する強力なツールであることが示されており、人工知能が数学に真の革命を起こすことができるのはここです。」

「純粋数学に機械学習を利用できるという事実に、私たちはとても興奮しています」とサラ・ヴェネツィアーレは語った。「これにより、分野全体にわたって新たな洞察が加速されるでしょう。」

要約すると、この研究は、機械学習が複雑な数学データ内のこれまで知られていなかった構造を発見でき、厳密な数学的結果を生み出す強力なツールであることを示しています。これはまた、ファノ クラスター手順における基本的な推測、つまりファノ クラスターの標準量子周期が変動を決定するという推測の証拠も提供します。