GPT-4 ワイルドスポークスマン Terence Tao: 新しい文学ツールは、それがなければ崩壊してしまいます! 11ページの「超短編」新作がオンラインになりました

テレンス・タオはGPT-4をどれくらい愛しているのでしょうか?

今回、論文を書いたり研究をするときだけでなく、新しいツールを学ぶときにも、それがなくてはならないものとなりました。

ちょうど今日、マクローリンの不等式に関する彼のもう一つの研究結果が発表されました。

48 歳の彼は、自分の研究結果をより良く提示するために、対話型の定理証明ツールとして使用できる関数型プログラミング言語であるLean4 を学び始めました。

彼は、言語学習の「難易度」が増すにつれて、 GPT-4 が再び大いに役立つ可能性があると述べました。

あらゆる種類の微妙な文法上の問題を解決するためにそれがなかったら、私がどれほどイライラするか想像もつかないでしょう。

GPT-4 の「野生のスポークスマン」と呼ぶにふさわしいものです。

この論文についてタオ氏は次のように述べた。

とても短く、たった11ページです。使用される方法は非常に基本的なもので、微積分と多項式に関する学部レベルの知識のみが必要です。

見てみましょう

マクローリンの不等式

この論文は、前回の論文「オイラー関数の単調非減少列」からほぼ 1 か月後の 10 月 10 日に発表されました。

一般的に、この論文では主に古典的なマクローリン不等式について論じており、基本的な対称性は次の形式（式 1）であると述べている。

1≤k≤ℓ≤nかつy=(y1,…,yn)が非負の実数からなるとき、不等式（式2）に従う。

ここで、テレンス・タオは変形（式3）を提案しました。

このバリアントでは、 _{yi は}負の値になることができます。

この場合、不等式は定数に「急上昇」し、分母に k ^1/2係数が含まれていなくても不等式はわかります。

具体的には、タオ氏は次のように書いている。

式2はニュートンの不等式を使って証明することもできます。

これは、1≤k<n および任意の実数 y1、…、yn (特に、yi は負の数でもかまいません。</n) に対して有効であり、任意の実数 y1、…、yn が有効です (特に、y は負の数でもかまいません)。

ただし、k=1、n=2 の場合、算術平均と幾何平均の不等式になることに注意してください。

この不等式の一般的なケースは、いくつかの標準的な操作によって上記の特殊なケースから導き出すことができます。

なぜそれが可能なのでしょうか?これは主にロールの定理によるものです。

しかし、タオは、重要な点は、この操作によって S _n-1までのすべての基本的な対称平均が保持されることだ、と指摘しています。

次に、マクローリン不等式は、n変数（k=1、ℓ=nのとき）に対する算術幾何平均不等式の改良版を提供するものと見ることができます。

しかし、ニュートンの不等式は任意の実数_yiに適用され、 1 つ以上の_yiが負になることが許容されると、マクローリンの不等式は「崩壊」します。

しかし、n が偶数のときに重要な例が発生します。yi の半分は₊₁に等しく、残りの半分は -1 に等しくなります。

基本的な対称平均 s _{k は}、k が奇数のときに「消滅」し、次の式に等しいことが確認できます。

特に、いくつかの一般的な推定値は、大きさの境界（式a）につながります。

問題が再び発生します。上記の式は 0<k≤n の場合でも成り立つため、sk(y) に絶対値を加えた後でも、マクローリンの不等式に重大な違反が生じます。 </k≤n上記の式も成り立つので、sでも

一方、他の数学者も、連続する 2 つの値が小さい場合、s _ℓ (y) の後続の値もすべて小さくなることを観察しています。

さらに別の数学者は、この記述のより正確なバージョン（式 b）を観察しました。

ここで1≤k≤ℓ≤nであり、y=(y1,…,yn)は実数（負の場合もある）である。

k=1、ℓ=nと仮定すると、次の不等式が得られます。

算術平均と幾何平均の不等式を組み合わせると、別の不等式が成立します。

そして方程式は次のようになります:

ニュートンの不等式の証明と同様に、式 b の一般的なケースは、いくつかの標準的な操作 (上記の微分操作を含む) を通じてこの特殊なケースから得ることができます。

しかし、重要な例に示されている境界 n (式b) を境界 a (式 a) と比較すると、不一致が見つかります。

k ^1/2の影響により、 b の右側は左側よりも大きくなります。

ここで、本論文の主な結果は、最適な修正（定数まで） 、すなわち前述の式3を確立することによってこの問題を修正することです。

この結果は、数学ウェブサイトMathOverflowでネットユーザーが提起した疑問にも答えている。

それで、テレンス・タオはそれをどう解決したのでしょうか?

前の議論とは異なり、彼はここで主に算術平均と幾何平均の不等式に依存していません。代わりに、主なツールは新しい不等式です。

これは、1≤ℓ≤n および r>0 のすべての場合に有効です。

この式の証明に興味がある場合は、ブログや論文をさらに参照してください。これには主に微積分、二項定理、多項式に関する知識が必要です。

論文アドレス: https://arxiv.org/abs/2310.05328