ニューラルネットワークの詳細な説明、順方向伝播と逆方向伝播

主にロジスティック回帰について説明します。ロジスティック回帰には多くの基本概念が含まれており、ニューラルネットワークを学習するための基礎となります。次に、ロジスティック回帰からニューラルネットワークにアップグレードします。まずは「浅いニューラルネットワーク」を見てみましょう。

1. ニューラルネットワークとは何ですか?

ここで説明するニューラルネットワークは、ロジスティック回帰に基づいて 1 つ以上の隠し層を追加するものです。以下は、2 つの層のみを持つ非常に単純なニューラルネットワークです。

2層ニューラルネットワーク:

上記の図は 3 層や 4 層ではなく「2 層」であり、入力と出力は層としてカウントされないことに注意してください。

ここで、まず表記法を定義します。

z は x、w、b の線形演算の結果、z=wx+b です。a は z の活性化値です。下付き文字の 1、2、3、4 はレイヤーの i 番目のニューロン (ユニット) を表します。上付き文字の [1]、[2] などは現在のレイヤーを表します。 y^はモデルの出力を表し、yは真の値、つまりラベルである。

また、よく混同される点が 1 つあります。

- 上図の x1、x2、x3、x4 は 4 つのサンプルを表していません。しかし、サンプルの 4 つの特徴 (4 つの次元の値)!

m 個のサンプルがある場合、上記のプロセスを m 回繰り返す必要があることを意味します。

ニューラルネットワークの「2 つの伝播」:

順方向伝播は、入力から層ごとに進み、各層の z と a を継続的に計算し、最終的に出力 y^ を取得するプロセスです。y^ を計算した後、それと真の値 y との差に基づいて損失を計算できます。逆伝播逆伝播は、損失関数 L(y^,y) に従って各層の z、a、w、b の偏微分 (勾配) を逆方向に計算し、パラメータを更新することです。
順方向伝播と逆方向伝播:

それぞれの順方向伝播と逆方向伝播の後に、パラメータが 1 回更新され、その後、上記のプロセスが新しいパラメータで再度繰り返されます。これがニューラルネットワークトレーニングの全体的なプロセスです。

2. フォワードプロパゲーション

for ループを使用して一度に 1 つのサンプルを計算すると、明らかに遅すぎます。以前のメモを読んだことのある友人は、計算のために m 個のサンプルをベクトル X に圧縮するためにベクトル化を使用していることを知っているはずです。同様に、z と a をベクトル化して Z と A を取得し、m 個のサンプルを同時に表現して計算できるようにします。

このように、次の式を使用して、2 層ニューラルネットワークの順方向伝播プロセスを表現します。

レイヤー1: Z[1] = W[1]·X + b[1]A[1] = σ(Z[1])

レイヤー2: Z[2] = W[2]·A[1] + b[2]A[2] = σ(Z[2])

Xは実際にはA[0]であることがわかっているので、各レイヤーでの計算が同じであることは簡単にわかります。

レイヤーi: Z[i] = W[i]·A[i-1] + b[i]A[i] = σ(Z[i])

（注：σはシグモイド関数です）

したがって、ニューラルネットワークにいくつの層があっても、上記のプロセスが繰り返されます。

損失関数については、ロジスティック回帰と同様に「クロスエントロピー」を使用し、式は次のようになります。バイナリ分類問題の場合: L(y^,y) = -[y·log(y^)+(1-y)·log(1-y^)]- マルチ分類問題の場合: L=-Σy(j)·y^(j)

これは各サンプルの損失です。通常は、サンプルセット全体の損失 (コストとも呼ばれます) も計算する必要があります。これは L の平均である J で表されます。

J(W,b) = 1/m ΣL(y^(i),y(i))

Z、A、L、J を見つける上記のプロセスは順方向伝播です。

3. バックプロパゲーション

簡単に言えば、バックプロパゲーションとは、J の公式に従って W と b の偏微分を求めること、つまり勾配を求めることです。パラメータを更新するには勾配降下法を使用する必要があり、更新には勾配が必要になるためです。

しかし、偏微分に関する連鎖律によれば、l 番目の層のパラメータの勾配は、l+1 番目の層の勾配を通じて取得する必要があることがわかります。したがって、導出プロセスは「逆」であり、これが「バックプロパゲーション」と呼ばれる理由です。

ここでは導出のプロセスの詳細には立ち入りません。興味のある人は自分で導出すればいいのですが、こういうものを見たら導出したいと思わない人がほとんどだと思います。。。 (主に数式を入力するのが面倒だからです T_T")

さらに、TensorFlow や Keras などのさまざまなディープラーニングフレームワークでは、順方向伝播プロセスを自分で構築するだけで、逆方向伝播プロセスは自動的に完了するため、あまり心配する必要はありません。

バックプロパゲーション後、各レイヤーのパラメータの勾配に応じてパラメータを更新できます。更新後、フォワードプロパゲーションとバックワードプロパゲーションのプロセスを繰り返して、より良いパラメータを継続的にトレーニングして学習できます。

4. ディープニューラルネットワーク

これまでの説明では、すべて 2 層の浅いニューラルネットワークを例に挙げました。

ディープニューラルネットワークには何も不思議なことはなく、数個/数十個/数百個の隠し層があるだけです。

これは簡単な概略図で表すことができます。

ディープニューラルネットワーク:

ディープニューラルネットワークでは、中間層でシグモイド関数の代わりに「ReLU」活性化関数を使用することに注意してください。シグモイド関数は最終出力層でのみ使用されます。これは、ReLU 関数の方が勾配の検出が速く、勾配消失現象をある程度防ぐことができるためです。そのため、ディープネットワークでよく使用されます。活性化関数に関する質問については、[DLフラグメント3]ニューラルネットワークの活性化関数とその比較を参照してください。

ディープニューラルネットワークに関しては、その構造、特に各層の各変数の次元をより詳細に観察する必要があります。結局のところ、次元はモデルを構築する上で非常に重要です。

設定内容:

サンプルは全部で m 個あり、問題はバイナリ分類問題（つまり、y は 0、1）です。

ネットワークには合計 L 個の層があり、現在の層は層 l (l=1,2,...,L) です。

l番目の層のユニット数はn[l]です。次のパラメータまたは変数の次元は次のようになります。